Question

20．在△ABC中，sinA=-cosBcosC，且tanBtanC=1-$\sqrt{3}$，求角A．

Answer 1

分析 利用正切化為正弦、余弦，通分，利用兩角和的正弦函數(shù)結(jié)合三角形的內(nèi)角和的關(guān)系，求出tanB+tanC的值．從而利用兩角和的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，可求tanA的值，結(jié)合A的范圍，即可求值得解．

解答 解：在△ABC中，∵sinA=-cosBcosC，且tanBtanC=1-$\sqrt{3}$，
∴tanB+tanC=$\frac{sinB}{cosB}+\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinBcosC+cosBsinC}{cosBcosC}$=$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$=$\frac{sinA}{cosBcosC}$=$\frac{-cosBcosC}{cosBcosC}$=-1，
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{-1}{1-（1-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)，正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．