【題目】已知函數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)①當(dāng)時(shí),若對(duì)于任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;②當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)①;②存在,使得命題成立

【解析】

1)利用切線方程可知,從而構(gòu)造出方程組求得,得到解析式,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定的單調(diào)區(qū)間;(2)①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立;設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求解,可得;②設(shè)存在,使得,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)分別在研究的最大值和最小值,從而根據(jù)最值的關(guān)系可求得的取值范圍.

(1)由題意

在點(diǎn)處的切線方程為:

,,即: 解得:,

,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

(2)①由,,,即:

對(duì)任意,都有恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立

設(shè) 對(duì)恒成立

單調(diào)遞增

,

上有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

的最大值是中的較大的一個(gè)

,即 ,

的最小值為

②假設(shè)存在,使得,則問(wèn)題等價(jià)于

⑴當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞減

,即,得:

(2)當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞增

,即,得:

(3)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

,即……*)

由(1)知上單調(diào)遞減,故,而

不等式(*)無(wú)解

綜上所述,存在,使得命題成立

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開(kāi)端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.

(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?

(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,

已知圓和圓.

1)若直線過(guò)點(diǎn),且被圓截得的弦長(zhǎng)為,

求直線的方程;(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:

存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線,

它們分別與圓和圓相交,且直線被圓

截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

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【題目】如圖,在三棱錐中,,為線段上一點(diǎn),且平面,與平面所成的角為.

1)求證:平面平面

2)求二面角的平面角的余弦值。

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【題目】已知.

(1)解關(guān)于的不等式;

(2)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】為了調(diào)查煤礦公司員工的飲食習(xí)慣與月收入之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取了30名員工,并制作了這30人的月平均收入的頻率分布直方圖和飲食指數(shù)表(說(shuō)明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主).其中月收入4000元以上員工中有11人飲食指數(shù)高于70.

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(Ⅰ)是否有95%的把握認(rèn)為飲食習(xí)慣與月收入有關(guān)系?若有請(qǐng)說(shuō)明理由,若沒(méi)有,說(shuō)明理由并分析原因;

(Ⅱ)以樣本中的頻率作為概率,從該公司所有主食蔬菜的員工中隨機(jī)抽取3人,這3人中月收入4000元以上的人數(shù)為,求的分布列與期望;

(Ⅲ)經(jīng)調(diào)查該煤礦公司若干戶家庭的年收入(萬(wàn)元)和年飲食支出(萬(wàn)元)具有線性相關(guān)關(guān)系,并得到關(guān)于的回歸直線方程:.若該公司一個(gè)員工與其妻子的月收入恰好都為這30人的月平均收入(該家庭只有兩人收入),估計(jì)該家庭的年飲食支出費(fèi)用.

附:

.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】如圖,已知是半圓的直徑,,是將半圓圓周四等分的三個(gè)分點(diǎn)

(1)從這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn),求這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率;

(2)在半圓內(nèi)任取一點(diǎn),求的面積大于的概率.

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2)求直線DH與平面CEF所成角的正弦值;

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