Question

3．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，4a₁，3a₂，2a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{S}_{n}+1）}$，求滿足方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_n-1b_n=$\frac{2015}{2016}$的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過首項(xiàng)和公比表示出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)，利用4a₁，3a₂，2a₃成等差數(shù)列列出方程，進(jìn)而可求出公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）裂項(xiàng)可知b_nb_n+1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，6q=4+2q²，
解得：q=2或q=1（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{S}_{n}+1）}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（{2}^{n}-1+1）}$=$\frac{1}{n}$，
∵b_nb_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴并項(xiàng)相加可知b₁b₂+b₂b₃+…+b_n-1b_n=$\frac{n}{n+1}$=$\frac{2015}{2016}$，
解得：n=2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．