Question

下列結(jié)論：
①若A＞B，則有sinA＞sinB；
②若B=

π

4

，b=2，a=

3

，則滿足條件的三角形有兩個(gè)；
③若△ABC是銳角三角形，則sinA＞cosB；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是正三角形．
其中的正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：①若A＞B，則有sinA-sinB=2sin

C

2

sin

A-B

2

＞0；
②由于B=

π

4

，b＞a，可得A＜B，因此C為鈍角；
③由△ABC是銳角三角形，可得

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，可得sinA＞cosB；
④由-π＜A-B＜π，可得-1＜cos（A-B）≤1，同理可得cos（B-C）≤1，cos（C-A）≤1，可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C．

解答： 解：①若A＞B，則有sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

=2sin

C

2

sin

A-B

2

＞0(

A-B

2

∈(0，

π

2

))，∴sinA＞sinB；
②若B=

π

4

，b=2，a=

3

，∴A＜B，因此C為鈍角，則滿足條件的三角形只有一個(gè)，不正確；
③若△ABC是銳角三角形，∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，∴sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，∴sinA＞cosB；
④∵cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，由-π＜A-B＜π，可得-1＜cos（A-B）≤1，同理可得cos（B-C）≤1，
cos（C-A）≤1，∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C．則△ABC是正三角形．
綜上可得：只有③④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的恒等變形、三角函數(shù)的單調(diào)性、解三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．