Question

 設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標原點．

   （Ⅰ）求橢圓E的方程；

   （Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,

         且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理

         由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為        4分

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

 

要使,需使,即,所以

,

    所以又,

    所以,所以,即或,

    因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

    所以圓的半徑為,,,

所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．

因為,

所以,

,               8分

①當時

因為所以,

所以,

所以當且僅當時取“=”．

    ②時,．

    ③當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,

所以此時,             12分

綜上, |AB |的取值范圍為即:           14分