Question

以橢圓C₁：

x2

12

+

y2

3

=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C₂經(jīng)過直線L：x-y-1=0上的一點(diǎn)M，當(dāng)M到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，則橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：探究型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓C₁得出焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）求出c=3，F(xiàn)₂（3，0）關(guān)直線L：x-y-1=0對(duì)稱點(diǎn)F′₂（x₀，y₀），根據(jù)點(diǎn)M是直線F₁F′₂與直線l的交點(diǎn)，滿足當(dāng)M到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，從而求出M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：∵橢圓C₁：

x2

12

+

y2

3

=1的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
橢圓C₂的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）
∴橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，c=3，
∵F₂（3，0）關(guān)直線L：x-y-1=0對(duì)稱點(diǎn)F′₂（x₀，y₀），
∴

x0+3 2 - y0 2 =1 y0-0 x0-3 =-1

解得x₀=1，y₀=2，
點(diǎn)F′₂（1，2），
∴直線F₁F′₂的方程為y=

1

2

x+

3

2

，
∵橢圓C₂經(jīng)過直線L：x-y-1=0上的一點(diǎn)M，當(dāng)M到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，
∴點(diǎn)M是直線F₁F′₂與直線l的交點(diǎn)，
∴

y=x-1 y= 1 2 x+ 3 2

得出M（5，4），
∵橢圓C₂經(jīng)過M（5，4），
∴MF₁=4

5

，MF₂=2

5

，
∴2a=6

5

，a=3

5

，a²=45，b²=45-9=36，
故橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

45

+

y2

36

=1，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的對(duì)稱性，與求解橢圓的方程的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何性質(zhì)確定M點(diǎn)的位置，屬于難題．