Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

1

3

的解集．

Answer 1

（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，則3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．   
（2）∵0＜

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

≤

1

2

，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

∈(-

1

2

，0]；             
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．       
綜上得 y=f（x）的值域?yàn)?nbsp;(-

1

2

，

1

2

)．            
（3）∵f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)，
又∵f(x)＞

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)，此時(shí)f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

單調(diào)遞增，
∵f(1)=

1

5

＜

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)時(shí)，x＞1?3^x＞3．
令

1

2

-

3x

9x+1

＞

1

3

，
即

3x

9x+1

＜

1

6

?32x-6•3x+1＞0?3x＞3+2

2

?x＞log3(3+2

2

)，
∴不等式f(x)＞

1

3

的解集是(log3(3+2

2

)，+∞)．