Question

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x²＋y²＋4x－12y＋24＝0

（I）若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；

（II）求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)D的軌跡方程

 

Answer 1

【答案】

（1）直線的方程為：或 （2） 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)弦長(zhǎng)和半徑，可求出圓心到直線的距離為2 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為：即 由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出k的值，從而得直線的方程 然后再考慮斜率不存在時(shí)的情況  （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)為，則 即 由此等式即可得中點(diǎn)D的軌跡方程 這屬于利用等量關(guān)系求軌跡方程的問(wèn)題 

試題解析：（1）如圖所示，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，則 

 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－2，6） 在中，可得 

設(shè)所求直線的方程為：即 

由點(diǎn)到直線的距離公式得： 

此時(shí)直線的方程為：               4分

又直線的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為： 

所以所求直線的方程為： 或           6分

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)為，則 即 

所以化簡(jiǎn)得所求軌跡的方程為：     12分

考點(diǎn)：1、直線與圓的方程；2、軌跡的方程