Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞3x-4．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²-2lnx，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
=，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-3x+1=x²-2lnx-3x+4，
則=，
∵當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（2）=4-2ln2-6+4＞0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，x²-2lnx＞3x-4，
即當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞3x-4．
分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=x²-2lnx，知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，=，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-3x+1=x²-2lnx-3x+4，則=，當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＞0，由此能夠證明當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞3x-4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．