Question

8．若函數(shù)f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+a在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]的最大值為M，最小值為N，且M+N=1，則a的值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由求出f′（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，且x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）是減函數(shù)，從而M=f（-$\frac{1}{2}$），N=f（$\frac{1}{2}$），由此能求出a的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+a，
$f（x）=ln（\frac{1-x}{1+x}）+a$，
∴f′（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，-1＜x＜1．
當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]時(shí)，f′（x）＜0，∴x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
∵在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]的最大值為M，最小值為N，
∴M=f（-$\frac{1}{2}$）=ln（1+$\frac{1}{2}$）-ln（1-$\frac{1}{2}$）+a=ln$\frac{3}{2}$-ln$\frac{1}{2}$+a=ln3+a，
N=f（$\frac{1}{2}$）=ln（1-$\frac{1}{2}$）-ln（1+$\frac{1}{2}$）+a=ln$\frac{1}{2}$-ln$\frac{3}{2}$=-ln3+a，
∵M(jìn)+N=1，∴M+N=ln3+a-ln3+a=2a=1，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴a的值是$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．