Question

（2012•海淀區(qū)二模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點P，CP=

7

5

，PD=5，AP=1，則∠DCB=

45°

．

Answer 1

分析：利用相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，可得PB=7．由直徑2R=AP+PB=1+7=8，可求得半徑R=4，OP=OA-AP=4-1=3．連接DO，在△ODP中，OP²+OD²=3²+4²=5²=PD²，利用勾股定理的逆定理可得∠POD=90°．連接BD，由等腰直角△DOB可得DB=

2

R．利用正弦定理可得：

DB

sin∠DCB

=2R，由圖可知：∠DCB為銳角，即可求出．

解答：解：由相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，∴PB=

CP•PD

AP

=

7 5 ×5

1

=7．
∴直徑2R=AP+PB=1+7=8，∴半徑R=4．∴OP=OA-AP=4-1=3．
連接DO，在△ODP中，OP²+OD²=3²+4²=5²=PD²，
∴∠POD=90°．
連接BD，由等腰直角△DOB可得：DB=

2

R．
由正弦定理可得：

DB

sin∠DCB

=2R，∴sin∠DCB=

DB

2R

=

2

2

，
由圖可知：∠DCB為銳角，∴∠DCB=45°．
故答案為45°．

點評：熟練掌握相交弦定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質、正弦定理是解題的關鍵．