Question

9．已知函數(shù)$f（x）={x^2}+\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)量較大），從中隨機(jī)抽取10個(gè)，繪制所得的莖葉圖如圖所示，且莖葉圖中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2．（莖葉圖中的數(shù)據(jù)均為小數(shù)，其中莖為整數(shù)部分，葉為小數(shù)部分）
（Ⅰ）現(xiàn)從莖葉圖的數(shù)據(jù)中任取4個(gè)數(shù)據(jù)分別替換m的值，
求至少有2個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）以頻率估計(jì)概率，若從該組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4個(gè)數(shù)據(jù)分別替換m的值，記使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的定義列方程求出a的值；利用判別式△＜0求出函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算所求的概率值；
（Ⅱ）根據(jù)題意知ξ的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為
$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
從莖葉圖10個(gè)數(shù)據(jù)中任取4個(gè)，有${C}_{10}^{4}$=210種不同的取法；
函數(shù)f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$中，
△=2（m-1）²-m=2m²-5m+2，
令△＜0，解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
∴滿(mǎn)足函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的數(shù)據(jù)是0.7，1.4，1.8，1.9共4個(gè)；
用抽出的4個(gè)數(shù)分別替換m的值，至少有2個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的概率為
P=1-$\frac{{C}_{4}^{0}{•C}_{6}^{4}}{210}$-$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{3}}{210}$=$\frac{23}{42}$；
（Ⅱ）滿(mǎn)足函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的數(shù)據(jù)有4個(gè)，
∴ξ的所有可能取值分別為0，1，2，3，4；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，
P（ξ=3）=$\frac{{{C}_{4}^{3}C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$；
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{15}{210}$+1×$\frac{80}{210}$+2×$\frac{90}{210}$+3×$\frac{24}{210}$+4×$\frac{1}{210}$=$\frac{336}{210}$=1.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖以及判別式與函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是綜合題．