Question

6．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分別為SA，SB的中點，E為CD中點，過M，N作平面MNPQ分別于BC，AD交于點P，Q，若|DQ|=λ|DA|
（1）當λ=$\frac{1}{2}$時，求證：平面SAE⊥平面MNPQ
（2）是否存在實數λ，使得三棱錐Q-BCN的體積為$\frac{7}{16}$？若存在，求出實數λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角梯形性質可得PQ⊥AE，結合PQ⊥SE得出PQ⊥平面SAE，故而平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）根據V_Q-BCN=V_N-BCQ=$\frac{1}{3}$S_△BCQ•$\frac{1}{2}SE$列方程解出λ．

解答 解：（1）E為CD中點，所以四邊形ABCE為矩形，所以AE⊥CD
當λ=$\frac{1}{2}$時，Q為AD中點，PQ∥CD  所以PQ⊥AE
因為平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD
因為PQ?面ABCD，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE
所以面MNPQ⊥面SAE…（6分）
（2）V_Q-BCN=V_N-BCQ=$\frac{1}{2}$V_S-BCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△BCQ•h，
∵SC=SD，E為CD中點∴SE⊥CD
又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，SE?平面SCD，
∴SE⊥平面ABCD∴SE即為S到平面BCQ的距離，即SE=h．
在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴SE=$\sqrt{3}$，
在直角梯形ABCD中，易求得：BC=$\sqrt{3}$，
∵M，N為中點，∴MN∥AB，∴AB∥平面MNPQ，
又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，∴AB∥PQ，
又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴S_△BCQ=$\frac{1}{2}$BC×PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ，
∴V_Q-BCN=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△BCQ•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$PQ，
由題意：$\frac{1}{4}$PQ=$\frac{7}{16}$，∴PQ=$\frac{7}{4}$．
在梯形ABCD中，$\frac{FQ}{GD}$=$\frac{AQ}{AD}$，FQ=PQ-AB=$\frac{3}{4}$，GD=1，∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{1}{4}$     即λ=$\frac{1}{4}$
∴存在實數λ=$\frac{1}{4}$，使得三棱錐Q-BCN的體積為$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定與性質，線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．