Question

16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），過點F且垂直于x軸的直線在第一象限內與雙曲線及雙曲線的漸近線的交點依次為A、B，若2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OF}$，則該雙曲線的離心率的值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出A，B的坐標，結合中點坐標公式建立a，c的關系進行求解即可．

解答 解：根據(jù)題意可求得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，$\frac{bc}{a}$），
∵2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OF}$，
∴A為BF的中點，∴2•$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{bc}{a}$，即c=2b，
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{{c}^{2}-b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和雙曲線的相交關系求出交點坐標，結合中點坐標公式以及離心率的公式是解決本題的關鍵．