Question

（2011•許昌三模）設(shè)f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（I）若f′ (1)=-

2

5

，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（II）若k＞0，試討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）先確定參數(shù)k的值，再求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到切線方程；
（II）當(dāng)k＞0時(shí)，分類討論．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可討論f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（I）由于f(x)=kx-

k

x

-2lnx，則f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

∴f′(1)=k+k-2=-

2

5

，解得k=

4

5

∴f(2)=2×

4

5

-

4 5

2

-2ln2=

6

5

-2ln2且f′(2)=0
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-（

6

5

-2ln2）=0（x-1），即y=

6

5

-2ln2；
（II）由（1）知，f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

（x＞0），
當(dāng)△＞0，即0＜k＜1時(shí)，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1- 1-k2

k

或x＞

1+ 1-k2

k

令f′（x）＜0，可得

1- 1-k2

k

＜x＜

1+ 1-k2

k

；
當(dāng)△≤0，即k≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立．
綜上，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1- 1-k2

k

)，（

1+ 1-k2

k

，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（

1- 1-k2

k

，

1+ 1-k2

k

）；
當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．