Question

9．如圖所示，在△ABC中，AD=DB，點F在線段CD上，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}=x$$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，則$\frac{1}{x}+\frac{4}{y+1}$的最小值為（　　）

• A． $6+2\sqrt{2}$
• B． $6\sqrt{3}$
• C． 6+4$\sqrt{2}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AF}$，由C，D，F(xiàn)三點共線得出x，y的關(guān)系，消去y，得到$\frac{1}{x}+\frac{4}{y+1}$關(guān)于x的函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow$=2x$\overrightarrow{AD}+$y$\overrightarrow{AC}$．
∵C，F(xiàn)，D三點共線，
∴2x+y=1．即y=1-2x．由圖可知x＞0．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y+1}$=$\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x}$=$\frac{x+1}{x-{x}^{2}}$．
令f（x）=$\frac{x+1}{x-{x}^{2}}$，得f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{（x-{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）=0得x=$\sqrt{2}-1$或x=-$\sqrt{2}-1$（舍）．
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{2}-1$時，f′（x）＜0，當(dāng)x$＞\sqrt{2}-1$時，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=$\sqrt{2}-1$時，f（x）取得最小值f（$\sqrt{2}-1$）=$\frac{\sqrt{2}}{（\sqrt{2}-1）-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，函數(shù)的最值，屬于中檔題．