Question

已知函數．
（1）求f（x）的定義域；　
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定義域為{x|x≠0}
函數的解析式可以變?yōu)?，
由于2^x-1＞-1，故 ＜-1或 ＞0
故 ＞0或 ＜-2，
∴的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一個減函數，證明如下：
由于 ，在（0，+∞）上，2^x-1遞增且函數值大于0，在（0，+∞）上是減函數，
故 在（0，+∞）上是減函數．
分析：（1）求f（x）的定義域可令分母2^x-1≠0求解，對函數的解析式進行變化，判斷出值域即可值域；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性并證明，由解析式可以看出本函數在（0，+∞）是一個減函數，可由復合函數的單調性的判斷方法判斷證明即可．
點評：本題考查函數單調性的、函數的定義域與值域的求法，求解此類題的關鍵是對函數性質的證明方法了然于心，熟知其各種判斷證明方法．