Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（2，1）．求：
（1）|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|；
（2）當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？
（3）當(dāng)向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直時(shí)，求向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$的坐標(biāo)，進(jìn)而由向量模的公式計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，計(jì)算k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得3（k-2）=-7，解可得k的值，由k的值可以分析k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$反向；
（3）根據(jù)題意，由向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直分析可得（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=k-2+1=0，解可得k=1，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$以及|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|、|$\overrightarrow$|，由向量的數(shù)量積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（2，1），
$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（1，0）+3（2，1）=（1，0）+（6，3）=（7，3）
∴|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|=$\sqrt{58}$，
（2）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（k-2，-1），$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（7，3）
∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$平行
∴3（k-2）=-7，解得：k=-$\frac{1}{3}$，
此時(shí)k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-$\frac{7}{3}$，-1），$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=（7，3）
∴k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）∴k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$反向；
（3）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（k-2，-1），3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（1，-1）
∵向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
則有（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=k-2+1=0，
解可得k=1，
k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$即$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
又由向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（2，1），則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-1，-1）
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=（-1，-1）•（2，1）=-3
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$
∴cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow|}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及向量垂直、平行的判定，關(guān)鍵是牢記向量坐標(biāo)的坐標(biāo)計(jì)算公式．