Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)F到雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線的距離小于$\sqrt{3}$，則雙曲線E的離心率的取值范圍是1＜e＜2．

Answer 1

分析 求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)F為（2，0），
雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為bx+ay=0，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$＜$\sqrt{3}$，
即有2b＜$\sqrt{3}$c，
∴4b²＜3c²，
∴4（c²-a²）＜3c²，
∴e＜2，
∵e＞1，
∴1＜e＜2．
故答案為1＜e＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查離心率的求法，屬于中檔題．