Question

8．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$ax²+（1+a）x-lnx（a∈R）．
（1）a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）當a=0時，設函數(shù)g（x）=xf（x）-k（x+2）+2．若函數(shù)g（x）有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再分類討論，判斷函數(shù)的單調區(qū)間，
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）有兩個零點，運用函數(shù)的單調性和函數(shù)的零點存在定理，求得k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=-$\frac{1}{2}$ax²+（1+a）x-lnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=-ax+（1+a）-$\frac{1}{x}$=-$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=-$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$=-$\frac{（x-\frac{1}{a}）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
當a=1時，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
當a＞1時，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上單調遞減，
當0＜a＜1時，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，或x＞$\frac{1}{a}$
∴f（x）在（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞減，
綜上所述：當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
當a＞1時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上單調遞減，
當0＜a＜1時，f（x）在（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞減．
（2）當a=0時，設函數(shù)g（x）=xf（x）-k（x+2）+2=x（x-lnx）-k（x+2）+2，
∴g′（x）=2x-lnx-1-k，
令h（x）=2x-lnx-1-k，
∴h′（x）=2-$\frac{1}{x}$，令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調遞減，
當x＞$\frac{1}{2}$時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調遞增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=ln2-k，
當h（x）_min=ln2-k＜0時，
∴當k＞ln2時，函數(shù)g（x）有兩個零點．
∴k的取值范圍為（ln2，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及函數(shù)零點的應用，根據(jù)導數(shù)的應用是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．