已知函數(shù)f(x)=x+
m
x
(m為正的常數(shù)),它在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)變化是:在(0,
m
]
內(nèi)遞減,在[
m
,+∞)
內(nèi)遞增.其第一象限內(nèi)的圖象形如一個(gè)“對號”.請使用這一性質(zhì)完成下面的問題.
(1)若函數(shù)g(x)=2x+
a
x
在(0,1]內(nèi)為減函數(shù),求正數(shù)a的取值范圍;
(2)若圓C:x2+y2-2x-2y+1=0與直線l:y=kx相交于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)M(0,b)且MP⊥MQ.求當(dāng)b∈[1,+∞)時(shí),k的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的圖象
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可知函數(shù)g(x)=2x+
a
x
=2(x+
a
2
x
)(a>0)
(0,
a
2
]
內(nèi)為減函數(shù).進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式,解得正數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由MP⊥MQ,可得:kMP•kMQ=-1,進(jìn)而由韋達(dá)定理,構(gòu)造關(guān)于k的不等式,解得k的取值范圍.
解答: 解:(1)由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),
可知函數(shù)g(x)=2x+
a
x
=2(x+
a
2
x
)(a>0)
(0,
a
2
]
內(nèi)為減函數(shù).
依題意,(0,1]?(0,
a
2
]

a
2
≥1
得a≥2
∴a的取值范圍是[2,+∞).
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
∵M(jìn)P⊥MQ,
∴kMP•kMQ=-1
(y1-b)(y2-b)
x1x2
=-1
,
即x1x2+(y1-b)(y2-b)=0
又y1=kx1,y2=kx2
∴x1x2+(kx1-b)(kx2-b)=0,
(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0(*)
y=kx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2+y2-2x-2y+1=0
得:(1+k2)x2-2(1+k)x+1=0
由△=[2(1+k)]2-4(1+k2)=8k>0得k>0①
x1+x2=
2(1+k)
1+k2
,x1x2=
1
1+k2
代入(*)中得(1+k2)
1
1+k2
-kb
2(1+k)
1+k2
+b2=0

2k(1+k)
1+k2
=b+
1
b

由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)知,b+
1
b
在b∈[1,+∞)時(shí)為增,故b+
1
b
≥1+
1
1
=2

2k(1+k)
1+k2
≥2
,得k≥1②
由①②得k≥1.
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線垂直的充要條件,是函數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用,難度中檔.
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如圖,四棱錐P-ABCD中,O是底面正方形ABCD的中心,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:PA∥EO;
(2)證明:DE⊥平面PBC.

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定義運(yùn)算“*”為:a*b=
ab,a<0
2a+b,a≥0
,若函數(shù)f(x)=(x+1)*x,則該函數(shù)的圖象大致是( 。
A、
B、
C、
D、

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圓(x+2)2+(y+1)2=1關(guān)于直線y=x-1對稱的圓的方程為( 。
A、x2+(y-3)2=1
B、x2+(y+3)2=1
C、(x-3)2+y2=1
D、(x+3)2+y2=1

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執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是
 
. 

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已知函數(shù)f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,構(gòu)造函數(shù)F(x)=
g(x),f(x)≥g(x)
f(x),g(x)≥f(x)
,那么函數(shù)y=F(x)( 。
A、有最大值1,最小值-1
B、有最小值-1,無最大值
C、有最大值1,無最小值
D、有最大值3,最小值1

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已知一個(gè)扇形的周長為a,求當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.

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函數(shù)y=
x
|x|
log2|x|的大致圖象是( 。
A、
B、
C、
D、

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已知函數(shù)f(x)=loga
1-mx
x-1
(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(1)求m的值;
(2)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并根據(jù)定義證明;
(3)若f(x)在(2,+∞)上恒有f(x)>-1,求a的取值范圍.

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