Question

已知：點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是該橢圓的左、右焦點(diǎn)。點(diǎn)Q滿足與是方向相同的向量，又。
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）是否存在該橢圓的切線l，使以l被曲線C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F₂？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由橢圓方程知a²=4，b²=3，
∴a=2，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
∵與方向相同，
∴點(diǎn)Q在F₁P的延長線上，且有


∴點(diǎn)Q的軌跡C是圓，圓心為F₁，半徑為4
∴C的方程為（x+1）²+y²=16。
（2）假設(shè)存在該橢圓的切線l滿足條件。
（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=±2
當(dāng)x=-2時(shí)，

此時(shí)AF₂與BF₂不垂直，
∴直線x=-2不適合
當(dāng)x=2時(shí)，同理可知x=2也不適合。
（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+n，
與橢圓方程聯(lián)立消去y得（3+4k²）x²+8knx+4n²-12=0
由題意得△₁=64k²n²-4（3+4k²）（4n²-12）=0，
化簡得n²=4k²+3  ①
由
消去y得（1+k²）x²+（2+2kn）x+n²-15=0
在l與橢圓相切的條件下必有△₂=（2+2kn）² -4（1+k²）· （n²-15）>0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

∵ AF₂⊥BF₂
∴
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，
∴（k²+1）x₁x₂+（kn-1）（x₁+x₂）+n²+1=0
∴
化簡得n²=7k²+6， ②
由①②可得4k²+3=7k²+6
∴k²=-1不成立，
綜上，直線l不存在。