設(shè)x,y∈R,i,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量,若向量a=xi+(y+
2
)j,b=xi+(y-
2
),且|a|+|b|=4

(I)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
(II)若軌跡C上在第一象限的一點P的橫坐標(biāo)為1,作斜率為
2
的直線l與軌跡C交于不同兩點A、B,求△PAB面積的最大值.
分析:(I)條件“|a|+|b|=4”可以看成是動點到兩定點的距離之和為4,聯(lián)想橢圓的定義解決“點P(x,y)的軌跡C”;
(II)△AOB的面積取到最大值問題,要先建立關(guān)于某個自變量的函數(shù),后再求此函數(shù)的最大值即可.
解答:解:(I)∵a=xi+(y+
2
)j,b=xi+(y-
2
),且|a|+|b|=4

∴點P(x,y)到點( 0,
2
),(0,-
2
)的距離之和為4,
故點P的軌跡方程為
x 2
4
+
y 2
2
=1

(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)依題意得,直線AB的方程y=
2
x+m,代入橢圓方程,得4x2+2
2
mx+m2-4=0,
則x1+x2=-
2
2
m,x1•x2=
1
4
(m2-4),
又O點到AB的距離d=
|m|
3
,
因此,S△AOB=
1
2
|AB|•d
=
1
2
(1+1)[(x1+x22-4x1x2]  
|m|
3

=
1
2
1
2
(8-m)
2
m2
2

∴當(dāng)8-m2=m2時,即m=±
2
時,Smax=
2
點評:(1)平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及軌跡等問題的處理,目標(biāo)是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化,從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算,或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義,利用其幾何意義解決有關(guān)問題.(2)直線l與點P的軌跡的交點問題,組成方程組解決.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,i,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,|a|+|b|=4.
(I)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
(II)過點(0,m)作直線l與曲線C交于A,B兩點,若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,
i
,
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上兩點AB,滿足(1)直線AB過點(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,則OAPB為矩形,試求AB方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,
i
,
j
是直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若
a
=x
i
+(y+3)
j
b
=x
i
+(y-3)
j
|
a
|+|
b
|=6
,則點M(x,y)的軌跡是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,
i
j
,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸,y軸正方向上的單位向量,若向量
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過點(0,3)作直線l與曲線C交于A、B兩點.設(shè)
OP
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使得四邊形OAPB為菱形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•西山區(qū)模擬)設(shè)x,y∈R,
i
,
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上單位向量,若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
,
b
=(x-
3
)
i
+y
j
,且|
a
|+|
b
|=2
6

(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)若直線L與曲線C交于A、B兩點,若
OA
OB
=0
,求證直線L與某個定圓E相切,并求出定圓E的方程.

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