Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4x

-

λ

2x-1

+3（-1≤x≤2）．
（1）若λ=

3

2

時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值是1，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡f(x)=

1

4x

-

λ

2x-1

+3=(

1

2

)2x-2λ•(

1

2

)x+3（-1≤x≤2），再利用換元法得g（t）=t²-2λt+3（

1

4

≤t≤2）；從而代入λ=

3

2

求函數(shù)的值域；
（2）g（t）=t²-2λt+3=（t-λ）²+3-λ²（

1

4

≤t≤2），討論λ以確定函數(shù)的最小值及最小值點，從而求λ．

解答： 解：（1）f(x)=

1

4x

-

λ

2x-1

+3=(

1

2

)2x-2λ•(

1

2

)x+3（-1≤x≤2）
設(shè)t=(

1

2

)x，得g（t）=t²-2λt+3（

1

4

≤t≤2）．
當(dāng)λ=

3

2

時，g(t)=t2-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

（

1

4

≤t≤2）．
所以g(t)max=g(

1

4

)=

37

16

，g(t)min=g(

3

2

)=

3

4

．
所以f(x)max=

37

16

，f(x)min=

3

4

，
故函數(shù)f（x）的值域為[

3

4

，

37

16

]．

（2）由（1）g（t）=t²-2λt+3=（t-λ）²+3-λ²（

1

4

≤t≤2）
①當(dāng)λ≤

1

4

時，g(t)min=g(

1

4

)=-

λ

2

+

49

16

，
令-

λ

2

+

49

16

=1，得λ=

33

8

＞

1

4

，不符合舍去；
②當(dāng)

1

4

＜λ≤2時，g(t)min=g(λ)=-λ2+3，
令-λ²+3=1，得λ=

2

，或λ=-

2

＜

1

4

，不符合舍去；
③當(dāng)λ＞2時，g（t）_min=g（2）=-4λ+7，
令-4λ+7=1，得λ=

3

2

＜2，不符合舍去．
綜上所述，實數(shù)λ的值為

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的值域的求法及函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．