Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，為上一點(diǎn)，、為橢圓的兩焦點(diǎn)，的周長為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓，曲線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，試證：的面積為定值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(Ⅰ)由題意得：，，………………2分

則，，所以， ………………3分

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ………………4分

（Ⅱ）設(shè)，，

將代入橢圓的方程，消去可得，

顯然直線與橢圓的切點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，， …………………6分

所以， …………………………………………………7分

因?yàn)橹本�與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以的面積 …………………9分

，…………11分

設(shè)，

將代入橢圓的方程，可得， ………12分

由，可得，即， …………………………………………13分

又，故的面積為定值． ………………………14分

【命題意圖】本題主要考查直線的方程、橢圓的方程與性質(zhì)、直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓錐曲線中的定值與范圍問題，考查最基本的運(yùn)算能力以及邏輯推理能力、方程的思想等，是難題．