Question

18．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B₁C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC₁，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線B₁C與直線AC₁所成角的取值范圍為[10°，50°]．

Answer 1

分析 平移CB₁到A處，由已知得∠B₁CA=30°，∠B₁AC=150°，0≤∠C₁AC≤20°，由此能求出直線B₁C與直線AC₁所成角的取值范圍．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，
將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B₁C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC₁，
如圖，平移CB₁到A處，B₁C繞AC旋轉(zhuǎn)，
∴∠B₁CA=30°，∠B₁AC=150°，
AC₁繞AB旋轉(zhuǎn)，∴0°≤∠C₁AC≤2∠CAB，
∴0≤∠C₁AC≤20°，
設(shè)直線B₁C與直線AC₁所成角為α，
則∠B₁AC-∠C₁AC≤α≤∠B₁AC+∠C₁AC，
∵130°≤∠B₁AC-∠C₁AC≤150°，
150°≤∠B₁AC+∠C₁AC≤170°，
∴10°≤α≤50°或130°≤α≤170°（舍）．
故答案為：[10°，50°]．

點評 本題考查兩直線所成角的取值的求法，解題時要認真審題，注意旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的合理運用，是難題．