Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線1是圓O：x²+y²=2上動點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （ I）先利用條件列出關(guān)于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出雙曲線方程；
（II）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯(lián)立求出關(guān)于點A，B坐標(biāo)之間的方程，再代入求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=2，
即有所求雙曲C的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在x²+y²=2上，
圓在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），
化簡得x₀x+y₀y=2．
由$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\\{{x}_{0}x+{y}_{0}y=2}\end{array}\right.$，以及x₀²+y₀²=2得
（3x₀²-4）x²-4x₀x+8-2x₀²=0，
∵l與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜x₀²＜2，
3x₀²-4≠0，且△=16x₀²-4（3x₀²-4）（8-2x₀²）＞0，
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$，x₁x₂=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}$（2-x₀x₁）（2-x₀x₂）
=x₁x₂+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-2x₀（x₁+x₂）+x₀²x₁x₂]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$[4-$\frac{8{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}（8-2{{x}_{0}}^{2}）}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$]
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$-$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$=0．
可得OA⊥OB．

點評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．