Question

已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點(diǎn)；
（2）設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設(shè)直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點(diǎn)分別為A_m和B_m，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

Answer 1

分析：（1）欲證明：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點(diǎn)，只須根據(jù)切線的斜率分別求出切點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為2即可求出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)．從而問(wèn)題解決．
（2）先利用線段的長(zhǎng)度表示出函數(shù)f（t），再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出f（t）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（t）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，最后求出最大值即可；
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在正整數(shù)n，使得A₀B₀=A_nB_n，再設(shè)A_nB_n為g（n），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（n）的單調(diào)性，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）證明：y=

x2

e

+ey′=

2x

e

由y′=

2x

e

=2得x=e（2分）
在C₁上點(diǎn)（e，2e）處的切線為y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C₂上點(diǎn)（e，2e）處切線可計(jì)算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直線l與C₁、C₂都相切，且切于同一點(diǎn)（e，2e）（4分）
（2）f(t)=

t2

e

+e-2t-(2t-2elnt)=

t2

e

+2elnt-4t+ef′(t)=

2t

e

+2e

1

t

-4=

2t2+2e2-4et

et

=

2(t-e)2

et

≥0（6分）
∴f（t）在[e^-3，e³]上遞增
∴當(dāng)t=e³時(shí)f(t)max=

e6

e

+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）
（3）AnBn=

(en)2

e

+e-2elnen=

(e2)n

e

+e-2ne
設(shè)上式為g（n），假設(shè)n取正實(shí)數(shù)，則g′(n)=

(e2)n

e

•lne2-2e=

2(e2n-e2)

e

當(dāng)n∈（0，1）時(shí)，g′（n）＜0，∴g（n）遞減；
當(dāng)n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）遞增．（12分）
g(0)=A0B0=e+

1

e

g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

1

e

∴不存在正整數(shù)n，使得g（m）=g（0）
即A_nB_n=A₀B₀．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．