Question

定義：對(duì)于定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)x₁，x₂（x₁≠x₂）都存在常數(shù)k，使得|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，則稱f（x）在D上為“諧函數(shù)”，若f（x）=

x

在（4，+∞）上為“諧函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)諧函數(shù)的定義得到k滿足不等式：k＞

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

，化簡(jiǎn)后再由x₁，x₂的范圍求出

1

x1 + x2

的范圍，再求出k的范圍．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=

x

在（4，+∞）上為“諧函數(shù)”，
所以在（4，+∞）上任意兩個(gè)x₁，x₂（x₁≠x₂）都存在常數(shù)k，使得|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，
不妨設(shè)x₁＞x₂，則k＞

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=

x1 - x2

x1-x2

=

1

x1 + x2

，
因?yàn)閤₁＞x₂＞4，所以

x1

+

x2

＞4，
則0＜

1

x1 + x2

＜

1

4

，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥

1

4

，
故答案為：[

1

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，在能力上主要考查對(duì)新信息的理解力；及分離參數(shù)利用不等式求最值的方法．