Question

求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

Answer 1

a的最小值是

解析:

解法一:由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得:

x+y+2≤a²(x+y)，即2≤(a²－1)(x+y)，                  ①

∴x，y＞0，∴x+y≥2，                                      ②

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，②中有等號成立.

比較①、②得a的最小值滿足a²－1=1，

∴a²=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.

解法二: 設(shè).

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當(dāng)x=y時“=”成立)，

∴≤1，的最大值是1.

從而可知，u的最大值為，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值為.

解法三: ∵y＞0，

∴原不等式可化為+1≤a，

設(shè)=tanθ，θ∈(0，).

∴tanθ+1≤a  即tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，                       ③

又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=).

由③式可知a的最小值為.