7.已知函數(shù)y=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,且其圖象在x=1處切線斜率為-3
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差.

分析 (1)求出y'=3x2+6ax+3b,由題意得12+12a+3b=0,且k=y′|x=1=3+6a+3b=-3,由此能求出a=-1,b=0,從而y=x3-3x2+c,則y'=3x2-6x,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由y'=3x2-6x=0,解得x=0,x=2,推導(dǎo)出函數(shù)在x=0時(shí)取得極大值c,在x=2時(shí)取得極小值c-4,從而能求出函數(shù)的極大值與極小值的差.

解答 解:(1)∵函數(shù)y=x3+3ax2+3bx+c,
∴y'=3x2+6ax+3b,
∵函數(shù)y=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,
∴當(dāng)x=2時(shí),y′=0,即12+12a+3b=0,①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行,
∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3,②
聯(lián)立①②,解得a=-1,b=0,
∴y=x3-3x2+c,則y'=3x2-6x,
令y'=3x2-6x>0,解得x<0或x>2,
令y'=3x2-6x<0,解得0<x<2,
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2);
(2)由(1)可知,y'=3x2-6x,
令y′=0,即3x2-6x=0,解得x=0,x=2,
∵函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)在x=0時(shí)取得極大值c,在x=2時(shí)取得極小值c-4,
∴函數(shù)的極大值與極小值的差為c-(c-4)=4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查函數(shù)的極大值與極小值的差的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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文化程度與月收入列表   (單位:人)
月收入2000元以下月收入2000元及以上總計(jì)
高中文化以上104555
高中文化及以下203050
總計(jì)3075105
由上表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2=$\frac{{105×{{({10×30-20×45})}^2}}}{55×50×30×75}$≈6.1,則估計(jì)根據(jù)如表你認(rèn)為有97.5%以上把握確認(rèn)“文化程度與月收入有關(guān)系”.
P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

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