15.已知命題p:?x∈R,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$≤cos2.若(?p)∧q是假命題,則命題q可以是( 。
A.若-2≤m<0,則函數(shù)f(x)=-x2+mx在區(qū)間(-4,-1)上單調(diào)遞增
B.“1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要條件
C.x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f(x)=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x的一條對(duì)稱軸
D.若a∈[$\frac{1}{2}$,6),則函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2-alnx在區(qū)間(1,3)上有極值

分析 由已知可得命題p為假命題;若(?p)∧q是假命題,則q也是假命題;逐一四個(gè)答案中命題的真假,可得答案.

解答 解:cos2<0,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$>0恒成立,
故命題p:?x∈R,${(\frac{1}{10})^{x-3}}$≤cos2為假命題;
若(?p)∧q是假命題,
則q也是假命題;
A中,若-2≤m<0,則函數(shù)f(x)=-x2+mx在區(qū)間(-4,-1)上單調(diào)遞增,為真命題;
B中,“1≤x≤4”是“${log_{\frac{1}{5}}}$x≥-1”的充分不必要條件
C中,x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f(x)=cos 2x-$\sqrt{3}$sin 2x=2cos(2x+$\frac{π}{3}$)的一條對(duì)稱軸,為真命題;
D中,函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2-alnx,f′(x)=x-$\frac{a}{x}$,當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)=x-$\frac{1}{2x}$>0在區(qū)間(1,3)上恒成立,函數(shù)無(wú)極值,故D為假命題;
故選:D

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了充要條件,復(fù)合命題,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的對(duì)稱性,函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn),難度中檔.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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10.已知△ABC的外接圓半徑為R,C=60°,則$\frac{a+b}{R}$的取值范圍為$({\sqrt{3},2\sqrt{3}}]$.

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4.如圖,曲線C1是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一部分,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其兩焦點(diǎn).曲線C2是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn),并且∠AF2F1為鈍角.我們把由曲線C1和C2合成的曲線C稱為“月食圓”.
①若|AF1|=7,|AF2|=5,則曲線C1、C2的方程分別為
$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1(-6≤x≤3)、y2=8x(0≤x≤3)
②過(guò)F2作直線l,分別于“月食圓”依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則x1x2x3x4為定值;
③連接BF1,EF2,在△BF1F2中,記∠F1BF2=α,∠BF1F2=β,∠F1F2B=γ,則e=$\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$;
④若P、Q為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上兩動(dòng)點(diǎn),且OP⊥OQ,則S△OPQ的最小值是$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$.
以上說(shuō)法正確的有①③④.

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