【題目】一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動,其落點坐標依次是,(如圖所示,坐標以已知條件為準),表示青蛙從點到點所經(jīng)過的路程.

1)若點為拋物線)準線上一點,點均在該拋物線上,并且直線經(jīng)過該拋物線的焦點,證明.

2)若點要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,試寫出(不需證明);

3)若點要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的表達式.

【答案】解:(1),由于青蛙依次向右向上跳動,

所以,,由拋物線定義知:

(2) 依題意,

隨著的增大,點無限接近點

橫向路程之和無限接近,縱向路程之和無限接近

所以=

(3)方法一:設點,由題意,的坐標滿足如下遞推關系:,且

其中

,即

是以為首項,為公差的等差數(shù)列,

,

所以當為偶數(shù)時,,于是

為奇數(shù)時,

為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,當為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,

方法二:由題意知

其中

觀察規(guī)律可知:下標為奇數(shù)的點的縱坐標為首項為,公比為的等比數(shù)列.相鄰橫坐標之差為首項為2,公差為1的等差數(shù)列.下標為偶數(shù)的點也有此規(guī)律.并由數(shù)學歸納法可以證明.

所以,當為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,

【解析】

試題(1)直接借助題設求解即可獲證;(2)運用題設條件和極限思想表示出來再求解即可;(3)運用題設中提供的信息分類進行求解.

試題解析:(1)設,由于青蛙依次向右向上跳動,

所以,,由拋物線定義知:

2)依題意,,,

隨著的增大,點無限接近點

橫向路程之和無限接近,縱向路程之和無限接近,

所以

3)方法一:設點,則題意,的坐標滿足如下遞推關系:

,且,

其中,

,即,

是以為首項,2為公差的等差數(shù)列,

,

所以當為偶數(shù)時,,于是,

,

為奇數(shù)時,,,

為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,當為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,

方法二:由題意知,,,,,

其中,,,,

,,,

觀察規(guī)律可知:下標為奇數(shù)的點的縱坐標為首項為,公比為4的等比數(shù)列,相鄰橫坐標之差為首項為2,公差為1的等差數(shù)列,下標為偶數(shù)的點也有此規(guī)律,并由數(shù)學歸納法可以證明.

所以,當為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,,

為偶數(shù)時,

為奇數(shù)時,

所以,

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