已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，雙曲線C2：
x2
3
-y2=1．若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1、雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩交點A、B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．
分析：由l與橢圓C1恒有兩個不同的交點，可得解得 k2＞
1
4
 ①，由l與C2 有兩個不同的交點可得 k2≠
1
3
，且k2＜1  ②，再由
OA
•
OB
＜6 可得k2＞
13
15
 或k2＜
1
3
  ③，結(jié)合①②③求得k2的取值范圍，即可得到k的取值范圍．
解答：解：將y=kx+
2
代入
x2
4
+y2=1得，(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0，
由判別式 △1=(8
2
k)2-16(4k2+1)＞0，解得 k2＞
1
4
 ①．
將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得，（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0，
由l與C2 有兩個不同的交點可得
1-3k2≠ 0
△2=(- 6
2
k)2+36(1-3k2)＞0
，解得 k2≠
1
3
，且k2＜1  ②，
根據(jù)
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+
2
k(x1+x2)+2=
3k2+7
3k2-1
＜6，
解得k2＞
13
15
，或k2＜
1
3
  ③．  由①②③得
1
4
＜k2＜
1
3
，或
13
15
＜k2＜1．
故k的取值范圍為：(-1，-
13
15
)∪(-
3
3
，-
1
2
)∪(
1
2
，
3
3
)∪(
13
15
，1)．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求得
1
4
＜k2＜
1
3
，或
13
15
＜k2＜1，是解題的難點和關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1和拋物線C2：y2=2px（p＞0），過點M（1，0）且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當|AB|：|CD|=5：3時，求p的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x24
+y2=1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，過O的直線l與C1相交于A，B兩點，且l與C2相交于C，D兩點．若|CD|=2|AB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，橢圓C2以橢圓C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率，則橢圓C2的標準方程為
y2
16
+
x2
4
=1
y2
16
+
x2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1，其左準線為l1，右準線為l2，一條以原點為頂點，l1為準線的拋物線C2交l2于A，B兩點，則|AB|等于（　�。�
A、2B、4C、8D、16

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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