Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an（n∈N^*）成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|

an

2n

，Tn為數(shù)列{b_n}的前n項和，若T_n＞8對n∈N^*恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得Sn-1=

1

4

a

n-1 2

+

1

2

an-1(n≥2)從而導出a_n-a_n-1=2（n≥2），由此推出a_n=2n．
（2）由題設條件易得T_n=b₁+b₂+…+b_n=2|c|(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，令Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用錯位相消法能夠求出M_n，由題意4|c|[1-

n+2

2n+1

]＞8，|c|＞

2

1- n+2 2n+1

對n∈N^*恒成立，利用1-

n+2

2n+1

單調(diào)性得即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an，
∴Sn-1=

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1(n≥2)…（2分）
∴an=Sn-Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-(

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1)
∴a_n-a_n-1=2…（4分）
又a₁=2，∴a_n=2n…（6分）
（2）bn=|c|

an

2n

=2|c|

n

2n

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=2|c|(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)…（7分）
設Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Mn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

Mn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Mn=2[1-

n+2

2n+1

]…（10分）
∴Tn=4|c|[1-

n+2

2n+1

]…（11分）
由題意4|c|[1-

n+2

2n+1

]＞8，
∴|c|＞

2

1- n+2 2n+1

對n∈N^*恒成立             …（13分）
由1-

n+2

2n+1

單調(diào)性得

1

4

≤1-

n+2

2n+1

＜1
∴1＜

2

1- n+2 2n+1

≤4
要使T_n＞8對n∈N^*恒成立，故|c|＞8…（15分）
∴c的取值范圍是（-∞，8）∪（8，+∞）…（16分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，等差關系的確定，等比數(shù)列的前n項和等．解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．