Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通項(xiàng)a_n、b_n．

Answer 1

分析：由等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a_n+1=

bn•bn+1

遞推出a_n=

bn-1•bn

（n≥2）．

解答：解：∵5^a_n，5^b_n，5^a_n+1成等比數(shù)列，
∴（5^a_n）²=5^b_n•5^a_n+1，即2b_n=a_n+a_n+1．①
又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差數(shù)列，
∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n•b_n+1．②
由②及a_i＞0，b_j＞0（i、j∈N^*）可得
a_n+1=

bn•bn+1

．③
∴a_n=

bn-1bn

（n≥2）．④
將③④代入①可得2b_n=

bn-1•bn

+

bn•bn+1

（n≥2），
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

（n≥2）．
∴數(shù)列{

bn

}為等差數(shù)列．
∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁•b₂，∴b₂=

9

2

．
∴

bn

=

2

+（n-1）（

9 2

-

2

）
=

1

2

（n+1）（n=1也成立）．
∴b_n=

(n+1)2

2

．
∴a_n=

bn-1•bn

=

n2 2 • (n+1)2 2

=

n(n+1)

2

（n≥2）．
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也成立．
∴a_n=

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題呢．解題過程中注意由S_n求a_n時(shí)要注意驗(yàn)證a₁與S₁是否一致．