Question

16．設(shè)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤2x的解集；
（2）若不等式f（x）≥$\frac{{|{2a+1}|-|{a-1}|}}{|a|}$對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對(duì)值的含義，對(duì)x討論，分x≥1，-1＜x＜1，x≤-1，去掉絕對(duì)值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對(duì)值的方法，即可解得x的范圍．

解答 解：（1）f（x）≤2x，即|x-1|+|x+1|≤2x，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+1≤2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x+x+1≤2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{1-x-x-1≤2x}\end{array}\right.$，
解得：x≥1，
故不等式的解集是[1，+∞）；
（2）$\frac{|2a+1|-|a-1|}{|a|}$=|2+$\frac{1}{a}$|-|1-$\frac{1}{a}$|≤|2+$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)（2+$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{a}$）≤0時(shí)，取等號(hào)．
由不等式f（x）≥$\frac{{|{2a+1}|-|{a-1}|}}{|a|}$對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，
可得|x-1|+|x+1|≥3，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x≥3}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{2≥3}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x≥3}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{3}{2}$，
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，同時(shí)考查不等式恒成立問題的求法，運(yùn)用分類討論的思想方法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．