Question

16．在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BC=3BD，若AB=1，AC=2，則AD•BD的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)BD=a，則DC=2a，利用余弦定理可得：cosB=$\frac{3{a}^{2}-1}{2a}$，可得AD=$\sqrt{2-2{a}^{2}}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)BD=a，則DC=2a，∴cosB=$\frac{1+9{a}^{2}-4}{2×1×3a}$=$\frac{3{a}^{2}-1}{2a}$，
∴AD=$\sqrt{1+{a}^{2}-2acosB}$=$\sqrt{2-2{a}^{2}}$，
∴AD•BD=a•$\sqrt{2-2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+1-{a}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號．
∴AD•BD的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．