Question

已知等差數(shù)列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若將數(shù)列{a_n}的項重新組合，得到新數(shù)列{b_n}，具體方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此類推，第n項b_n由相應的{a_n}中2^n-1項的和組成，求數(shù)列{b_n-}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a_n+1＞a_n，結(jié)合a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求a₂，a₉，進而可求公差d，即可求解通項
（Ⅱ）由題意得：++…+，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求b_n，即可求解
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1＞a_n，可得公差d＞0
∵a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37
∴a₉＞a₂
∴
設公差為d，則d===3
∴a_n=a₂+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）
（Ⅱ）由題意得：++…+，
=（3•2^n-1+2）+（3•2^n-1+5）+（3•2^n-1+8）+…+[3•2^n-1+（3•2^n-1-1）]
=2^n-1×3•2^n-1+[2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）]…（6分）
而2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1+1）是首項為2，公差為3的等差數(shù)列的2^n-1項的和，
所以2+5+8+…++（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）=
=3
所以…（10分）
所以
所以==…（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應用，本題解題的關鍵是得到方程組，通過解方程組得到數(shù)列的項，求出公差，寫出通項，及分組求和方法的應用