Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e，直線y=ex+a與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，E點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且AE=e•AB，則離心率e的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出A，B，直線y=ex+a代入橢圓方程，化簡整理，解二次方程，求得E的坐標(biāo)，再由離心率公式及橢圓的a，b，c的關(guān)系，由條件AE=e•AB，得到e的方程，解得即可，注意離心率的范圍．

解答： 解：直線y=ex+a與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
即有A（-

a

e

，0），B（0，a），
直線y=ex+a代入橢圓方程，可得，
（b²+a²e²）x²+2ea³x+a⁴-a²b²=0，
由于e=

c

a

，b²=a²-c²，
則有a²x²+2ea³x+e²a⁴=0，
即有（ax+ea²）²=0，解得，x=-ea，
即有直線和橢圓相切，E為切點(diǎn)，且E（-ea，a-ae²），
由于AE=e•AB，即有（ea-

a

e

）²+（a-ae²）²=e²•（a²+

a2

e2

），
化簡整理，可得，e⁴-3e²+1=0，
解得，e²=

3± 5

2

，由于0＜e＜1，
則e²=

3- 5

2

，解得，e=

5 -1

2

故答案為：

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，考查兩點(diǎn)的距離和離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．