Question

如圖，三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，AA₁⊥面A₁B₁C₁，正視圖是邊長為2正方形．
（Ⅰ）求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）求直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）分析得等邊三角形的高，那么側(cè)視圖的面積=等邊三角形的高×側(cè)棱長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)O，連接AO，OC₁，則∠AC₁O為直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角．

解答： 解：（Ⅰ）∵三棱柱的底面為等邊三角形，邊長為2，
作出等邊三角形的高后，組成直角三角形，底邊的一半為1，
∴等邊三角形的高為

3

，
由題意知左視圖是一個(gè)高為2，寬為

3

的矩形，
∴左視圖的面積為2

3

；
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)O，連接AO，OC₁，則∠AC₁O為直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角．

∵AO=

3

，AC₁=2

2

，
∴sin∠AC₁O=

AO

AC1

=

3

2 2

=

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的三視圖的識(shí)別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視 長對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等．