Question

已知集合A={x|（x-3）（x-3a-5）＜0}，函數(shù)y=lg（-x²+5x+14）的定義域為集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用a=4，求出集合A，對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合B，即可求解集合A∩B．
（2）通過“x∈A”是“x∈B”的充分條件，推出關(guān)于a的表達式，求出a的范圍．

解答：解：（1）因為集合A={x|（x-3）（x-3a-5）＜0}，
a=4，所以（x-3）（x-3a-5）＜0⇒（x-3）（x-17）＜0，
解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，
由函數(shù)y=lg（-x²+5x+14）可知-x²+5x+14＞0，解得：-2＜x＜7，
所以函數(shù)的定義域為集合B={x|-2＜x＜7}，
集合A∩B={x|3＜x＜7}；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分條件，即x∈A，則x∈B，集合B={x|-2＜x＜7}，
當3a+5＞3即a＞-

2

3

時，3a+5≤7，解得-

2

3

＜a≤

2

3

．
當3a+5≤3即a≤-

2

3

時，3a+5＞-2，解得-

2

3

≥a＞-

7

3

．
綜上實數(shù)a的取值范圍：-

7

3

＜a≤

2

3

．

點評：本題考查二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域的求法，集合的交集與充要條件的應(yīng)用，考查計算能力．