Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N₊），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{a_n}中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N₊），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n．
∴S_n=2a_n-3n①，S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②
②-①化簡可得a_n+1=2a_n+3，…（3分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴數(shù)列{a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列
∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3
∴a₁+3=3+3=6
∴
∴ …（6分）
（2）設(shè)存在s，p，r∈N₊且s＜p＜r，使a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，…（7分）
∴2a_p=a_s+a_r，即 2（3×2^p-3）=（3×2^s-3）+（3×2^r-3）
∴2^p+1=2^s+2^r
∴2^p-s+1=2^r-s+1 （*） …（10分）
∵s、p、r∈N₊且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s為偶數(shù)
∵1+2^r-s為奇數(shù)，（*）式產(chǎn)生矛盾．所以這樣的三項不存在．…（13分）
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N₊），點（a_n，S_n）在直線y=2x-3n，可得S_n=2a_n-3n，再寫一式，兩式相減，整理可得數(shù)列{a_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)存在s，p，r∈N₊且s＜p＜r，使a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，可得出2^p-s+1=2^r-s+1，利用2^p-s+1、2^r-s為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)，即可得出結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與汗水的關(guān)系，考查構(gòu)造法求等比數(shù)列，考查存在性問題的探究，有綜合性．