Question

14．設向量$\overrightarrow{m}$=（x，y），$\overrightarrow{n}$=（x-y），P為曲線$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1（x＞0）上的一個動點，若點P到直線x-y+1=0的距離大于λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$得出雙曲線x²-y²=1（x＞0），根據(jù)雙曲線的漸近線與直線x-y+1=0平行，轉(zhuǎn)化為λ的最大值是直線x-y+1=0與漸近線的距離，求出即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（x，y），$\overrightarrow{n}$=（x-y），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=x²-y²=1（x＞0），
又雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為x±y=0，
由點P到直線x-y+1=0的距離大于λ恒成立，
∴λ的最大值為直線x-y+1=0與直線x-y=0的距離，
即λ的最大值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)與應用問題，也考查了平面向量數(shù)量積的應用問題，是基礎題．