Question

(滿分12分)

  如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形.

（1）若PD=AD,E為PA的中點，求證：平面CDE⊥平面PAB;

（2）F是棱PC上的一點，CF=CP，問線段AC上是否存在一點M，使得PA∥平面DFM.若存在，指出點M在AC邊上的位置，并加以證明；若不存在，說明理由.19. (滿分12分)

 

 

Answer 1

【答案】

(1) ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥CD

又∵底面ABCD是矩形.∴CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD   

又PA平面PAD    ∴CD⊥PA                 

∵PD=AD,E為PA的中點   ∴DE⊥PA            

CD∩DE=D  ∴PA⊥平面CDE,                  

又PA平面PAB  ∴平面CDE⊥平面PAB.       

(2)在線段AC上存在點M，使得PA∥平面DFM，此時點M為靠近C點的一個四等分點，                                               

證明如下： 

連接AC.BD.設(shè)AC∩BD=O, PC的中點為G，連OG，則PA∥OG,

  在ΔPAC中，∵CF=CP  ∴F為CG的中點。         

取OC的中點M，即CM=CA, 則MF∥OG, ∴MF∥PA   

又PA平面DFM, MF平面DFM  ∴PA∥平面DFM . 

 

 

【解析】略