Question

設(shè)項(xiàng)數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項(xiàng)的和分別為、、.已知集合=.

（1）已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，試研究和時(shí)是否存在符合條件的數(shù)列對(duì)（，），并說明理由；

（3）若，對(duì)于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對(duì)（，）有偶數(shù)對(duì).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）時(shí)，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時(shí)，數(shù)列對(duì)（，）不存在.（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）這實(shí)質(zhì)是已知數(shù)列的前項(xiàng)和，要求通項(xiàng)公式的問題，利用關(guān)系來解決；（2）時(shí)，可求出，再利用

=，可找到數(shù)列對(duì)（，）（注意結(jié)果不唯一），當(dāng)時(shí)，由于，即，可以想象，若存在，則應(yīng)該很大（體現(xiàn)在），研究發(fā)現(xiàn)（具體證明可利用二項(xiàng)展開式，

，注意到，展開式中至少有7項(xiàng)，故，下面證明這個(gè)式子大于，應(yīng)該很好證明了），這不符合題意，故不存在；（3）可通過構(gòu)造法說明滿足題意和數(shù)列對(duì)是成對(duì)出現(xiàn)的，即對(duì)于數(shù)列對(duì)（，），構(gòu)造新數(shù)列對(duì)，（），則數(shù)列對(duì)（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數(shù)列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數(shù)，矛盾）．

試題解析：（1）時(shí)，

時(shí)，，不適合該式

故，                        4分

（2），

時(shí)，

                 6分

當(dāng)時(shí)，，，，

=

數(shù)列、可以為（不唯一）：

6,12,16,14；2,8,10,4     ②  16,10,8,14；12,6,2,4            8分

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)不存在.故數(shù)列對(duì)（，）不存在.                 10分

另證：

當(dāng)時(shí)，

（3）令，（）         12分

又=，得

=

所以，數(shù)列對(duì)（，）與（，）成對(duì)出現(xiàn)。         16分

假設(shè)數(shù)列與相同，則由及，得，，均為奇數(shù)，矛盾！

故，符合條件的數(shù)列對(duì)（，）有偶數(shù)對(duì)。                18分

考點(diǎn)：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系；（2）觀察法，二項(xiàng)展開式證明不等式；（3）構(gòu)造法．