Question

（本小題滿分12分）
如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA="A" B．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點(diǎn)Q的位置，使得PC//平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）略
（Ⅲ）AQ=AP時(shí)，PC//QD，從而PC//平面BDQ ．  

（Ⅰ）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因?yàn)?PA⊥底面ABC ，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)都有
BD⊥DQ   ………………………… 8分
（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 
計(jì)算得AD=AC 所以點(diǎn)Q在線段PA的處，
即AQ=AP時(shí)，PC//QD，從而PC//平面BDQ ．  ……………………… 12分