如圖,平面平面
,四邊形
為矩形,
.
為
的中點,
.
(1)求證:;
(2)若時,求二面角
的余弦值.
(1)證明過程詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎知識,考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問,連結OC,由于為等腰三角形,O為AB的中點,所以
,利用面面垂直的性質(zhì),得
平面ABEF,利用線面垂直的性質(zhì)得
,由線面垂直的判定得
平面OEC,所以
,所以線面垂直的判定得
平面
,最后利用線面垂直的性質(zhì)得
;第二問,利用向量法,先建立空間直角坐標系,求出平面FCE和平面CEB的法向量,再利用夾角公式求二面角的余弦值,但是需要判斷二面角是銳角還是鈍角.
試題解析:(1)證明:連結OC,因AC=BC,O是AB的中點,故.
又因平面ABC平面ABEF,故
平面ABEF, 2分
于是.又
,所以
平面OEC,所以
, 4分
又因,故
平面
,所以
. 6分
(2)由(1),得,不妨設
,
,取EF的中點D,以O為原點,OC,OB,OD所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,設
,則
,
在的直線分別為軸,建立空間直角坐標系,
則從而
設平面
的法向量
,由
,得
, 9分
同理可求得平面的法向量
,設
的夾角為
,則
,由于二面角
為鈍二面角,則余弦值為
13分
考點:線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省高三高考壓軸文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,,
為圓柱
的母線,
是底面圓
的直徑,
,
分別是
,
的中點,
.
(1)證明:;
(2)證明:;
(3)假設這是個大容器,有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋,如果魚游到四棱錐 內(nèi)會有被捕的危險,求魚被捕的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省福州市高三5月綜合練習理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知集合,
,則“
”是“
”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省福州市高三5月綜合練習文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)(0≤x≤9)的最大值與最小值的和為( ).
A. B.0 C.-1 D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省高考考前模擬理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
對于x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥2+
2恒成立,試求2
+
的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省高考考前模擬理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知的三個內(nèi)角
所對的邊分別為
.若△
的面積
,則
的值是 。
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省高考考前模擬理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
某流程圖如圖所示,現(xiàn)輸入如下四個函數(shù),則可以輸出的函數(shù)是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省高考考前模擬文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖是某幾何體的三視圖,其中正視圖、左視圖均為正方形,俯視圖是腰長為2 的等腰三角腰形,則該幾何體的體積是( )
A. B.
C.
D.4
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建省廈門市高三5月適應性考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,
是
邊上的高,給出下列結論:
①; ②
; ③
;
其中結論正確的個數(shù)是( )
A. B.
C.
D.
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