Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=

x

x2+a

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]的最大值、最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)余弦函（1）的結(jié)論，利用換元法將求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]轉(zhuǎn)化為f（x）形式，即可求出函數(shù)的最大值、最小值

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

x2+a

，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

x2+a-x•2x

(x2+a)2

=

-x2+a

(x2+a)2

=

-(x- a )(x+ a )

(x2+a)2

，
由f′（x）＞0得-

a

＜x＜

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＜-

a

或x＞

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[-

a

，

a

]，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

a

]和[

a

，+∞）．
（2）g（x）=

x+1

x2+2x+3

=

x+1

(x+1)2+2

=，x∈[-1，1]，
設(shè)t=x+1，則t∈[0，2]，
即函數(shù)g（x）等價(jià)為m（t）=

t

t2+2

，
由（1）知此時(shí)a=2，則函數(shù)在[-

2

，

2

]上單調(diào)遞增，在[

2

，+∞）上遞減，
則當(dāng)t=

2

時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值m（

2

）=

2

( 2 )2+2

=

2

4

∵m（0）=0，m（2）=

2

4+2

=

2

6

=

1

3

，則最小值為0，
故函數(shù)g（x）的最大值為

2

4

、最小值0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決函數(shù)單調(diào)性和最值的關(guān)鍵．