Question

【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)這種產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為42萬元，且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為15萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：
（1）寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入﹣總成本）；
（2）要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍；
（3）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得G（x）=42+15x．

∴f（x）=R（x）﹣G（x）=

（2）解：①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．

所以：1＜x≤5．

②當(dāng)x＞5時(shí)，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．

綜上得當(dāng)1＜x＜8.2時(shí)有y＞0．

所以當(dāng)產(chǎn)量大于100臺(tái)，小于820臺(tái)時(shí)，能使工廠有盈利

（3）解：當(dāng)x＞5時(shí)，∵函數(shù)f（x）遞減，

∴f（x）＜f（5）=48（萬元）．

當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣6（x﹣4）2+54，

當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為54（萬元）．

所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)時(shí)，可使贏利最大為54萬元

【解析】（1）根據(jù)利潤=銷售收入﹣總成本，且總成本為42+15x即可求得利潤函數(shù)y=f（x）的解析式． （2）使分段函數(shù)y=f（x）中各段均大于0，再將兩結(jié)果取并集． （3）分段函數(shù)y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一個(gè)即為所求．